Question

20．設(shè)直線l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中實(shí)數(shù)k₁，k₂滿足k₁k₂+3=0．
（1）證明l₁與l₂相交；
（2）設(shè)l₁與l₂的交點(diǎn)為（a，b），求證3a²+b²為定值．

Answer 1

分析 （1）用反證法，假設(shè)l₁與l₂不相交，則l₁∥l₂，k₁=k₂，得出矛盾，從而證明命題成立；
（2）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足兩直線方程，求出3a²+b²是否為定值即可．

解答 解：（1）證明：反證法，假設(shè)是l₁與l₂不相交，
則l₁與l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+3=0，得
${{k}_{1}}^{2}$+3=0，
此時(shí)與k₁為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾；
從而k₁≠k₂，即l₁與l₂相交；…（6分）
（2）因?yàn)榻稽c(diǎn)P的坐標(biāo)（a，b）滿足
$\left\{\begin{array}{l}{b-1{=k}_{1}a}\\{b+1{=k}_{2}a}\end{array}\right.$，
即（b-1）（b+1）=k₁k₂a²=-3a²，
整理，得3a²+b²=1；
所以3a²+b²為定值1．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了反證法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．