Question

13．已知數(shù)列 {a_n}滿足 a₁=1，a_n-a_n+1=$\frac{{2{a_n}{a_{n+1}}}}{{n（{n+1}）}}（n∈{N^*}）$，則 a_n=$\frac{n}{3n-2}$．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，得到即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，然后利用累加法求得數(shù)列通項公式．

解答 解：由a_n-a_n+1=$\frac{{2{a_n}{a_{n+1}}}}{{n（{n+1}）}}（n∈{N^*}）$，得
$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）+（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-2}}）+…+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）+\frac{1}{{a}_{1}}$（n≥2）
=$2（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}+…\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+1$
=$2（1-\frac{1}{n}）+1$=$\frac{3n-2}{n}$（n≥2）．
∴${a}_{n}=\frac{n}{3n-2}$（n≥2）．
當n=1時，上式成立．
∴${a}_{n}=\frac{n}{3n-2}$．
故答案為：${a}_{n}=\frac{n}{3n-2}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．