Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{1+a{x}^{2}}$，其中a∈R．
（1）當a=-$\frac{1}{4}$時，求 f （x）的單調區(qū)間；
（2）當a＞0時，證明：存在實數(shù)m＞0，使得對于任意的實數(shù)x，都有|f（x）|≤m成立．

Answer 1

分析 （1）a=$-\frac{1}{4}$帶入f（x），求出f（x），然后求f′（x），根據(jù)導數(shù)符號即可判斷f（x）的單調性，并寫出f（x）的單調區(qū)間；
（2）求f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，容易判斷f′（x）=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂，x₁＜x₂，根據(jù)a＞0從而得到f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減．能夠求出f（1）=0，并x＜1時f（x）＞0，而x＞1時f（x）＜0，從而便得到f（x₂）≤f（x）≤f（x₁），取|f（x₁）|，|f（x₂）|最大的記為M，從而便得出證明的結論．

解答 解：（1）當a=-$\frac{1}{4}$時，f（x）=$\frac{1-x}{1-\frac{1}{4}{x}^{2}}$；
f（x）的定義域為{x|x≠±2}；
$f′（x）=\frac{-\frac{1}{4}（{x}^{2}-2x+4）}{（1-\frac{1}{4}{x}^{2}）^{2}}=\frac{-（x-1）^{2}-3}{4（1-\frac{1}{4}{x}^{2}）^{2}}＜0$；
∴f（x）在（-∞，-2），（-2，2），（2，∞）上單調遞減；
∴f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，-2），（-2，2），（2，+∞）；
（2）證明：當a＞0時，f（x）=$\frac{1-x}{1+a{x}^{2}}$的定義域為R；
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，令f′（x）=0得：
${x}_{1}=1-\sqrt{1+\frac{1}{a}}＜0$，${x}_{2}=1+\sqrt{1+\frac{1}{a}}＞1$；
∴f（x）在（-∞，x₁]，[x₂，+∞）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減；
又f（1）=0，當x＜1時，f（x）$\frac{1-x}{1+a{x}^{2}}＞0$；當x＞1時，f（x）＜0；
∴x≤1時，0≤f（x）≤f（x₁）；x＞1時，f（x₂）≤f（x）＜0；

記M=max{|f（x₁）|，|f（x₂）|}，其中max{|f（x₁）|，|f（x₂）|}表示兩數(shù)|f（x₁）|，|f（x₂）|中最大的數(shù)；
綜上，當a＞0時，存在實數(shù)m∈[M，+∞），使得對任意的實數(shù)x，不等式|f（x）|≤m恒成立．

點評 考查函數(shù)商的導數(shù)的求導公式，根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性，找函數(shù)單調區(qū)間的方法，以及函數(shù)單調性定義的運用，注意正確求導．