Question

14．如圖，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過點A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F
（1）求證：AE⊥平面SBC；
（2）求證：SC⊥AF；
（3）判斷直線BC是否平行于平面AEF，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中過A作SB的垂線，垂足為E，由線面垂直的判定定理可得AE⊥面SBC，
（2）結合（1）的結論，進而AE⊥SC，再由已知中，過E作SC的垂線，垂足為F，由線面垂直的判定定理可得SC⊥面AEF，最后由線面垂直的性質得到AF⊥SC．
（3）設BC∥平面AEF，可得BC∥EF，由EF⊥SC，可證BC⊥SC，可證BC⊥平面SAC，AC?平面SAC，從而證明BC⊥AC，這與AB⊥BC矛盾，從而證明直線BC不平行于平面AEF．

解答 證明：（1）∵AE⊥BC，AE⊥SB，且SB∩BC=B，
∴AE⊥面SBC．
（2）由（1）得AE⊥面SBC，
∵SC?面SBC，
故AE⊥SC．
又∵AE⊥SC，EF⊥SC，且AE∩EF=E，
∴SC⊥面AEF，
∵AF?面AEF，
故AF⊥SC．
（3）直線BC不平行于平面AEF，
證明如下（反證法）：設BC∥平面AEF，
∵平面SCB∩平面AEF=EF，
∴BC∥EF，
∵EF⊥SC，
∴BC⊥SC，
又∵BC⊥SA，SA∩SC=S，
∴BC⊥平面SAC，AC?平面SAC，
∴BC⊥AC，
∴△ABC中，與AB⊥BC矛盾．
故直線BC不平行于平面AEF．

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定定理和性質定理，空間中直線與直線之間的位置關系，熟練掌握直線與直線垂直及直線與平面垂直之間的辯證關系及轉化方法，是解答本題的關鍵．