Question

6．若關(guān)于x的方程sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為[-$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 由題意可知g（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x與直線y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得k的取值范圍．

解答 解：由題意可得函數(shù)g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$） 與直線y=k在[0，$\frac{π}{2}$]上兩個(gè)交點(diǎn)．
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]，故2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故g（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
令2x+$\frac{π}{3}$=t，則t∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，函數(shù)y=h（t）=2sint 與直線y=k在[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
要使的兩個(gè)函數(shù)圖形有兩個(gè)交點(diǎn)必須使得-$\sqrt{3}$≤k＜2，
故答案為：[-$\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，兩角和差的正弦公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．