Question

17．設(shè)x，y∈R⁺，且$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$=2，則x+y的最小值為8．

Answer 1

分析 將x、y∈R⁺且$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$=1，代入x+y=（x+y）•（$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$），展開后應(yīng)用基本不等式即可．

解答 解：∵$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$=2，∴$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$=1，x、y∈R⁺，
∴x+y=（x+y）•（$\frac{1}{2x}$+$\frac{9}{2y}$）=$\frac{x+y}{2x}$+$\frac{9x+9y}{2y}$=5+$\frac{y}{2x}$+$\frac{9x}{2y}$≥5+2 $\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{9x}{2y}}$=8（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{2x}$=$\frac{9x}{2y}$，x=2，y=6時取“=”）．
故答案為：8．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式，著重考查學(xué)生整體代入的思想及應(yīng)用基本不等式的能力，屬于中檔題．