Question

20．復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R，i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z，設(shè)r=|$\overline{OZ}$|，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a+bi=r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做復(fù)數(shù)a+bi的三角形式．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：[r（cosθ+isinθ）]ⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）（n∈N^*）；
（2）利用等式（1+i）¹⁰⁰=[$\sqrt{2}$（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）]¹⁰⁰，求C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用用數(shù)學(xué)歸納法即可證明：[r（cosθ+isinθ）]ⁿ=rⁿ（cosnθ+isinnθ）（n∈N^*）；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，得到C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$為復(fù)數(shù)（1+i）¹⁰⁰的實(shí)部，進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=cosθ+isinθ，右邊=cosθ+isinθ，左邊=右邊，即n=1成立，
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]^k=r^k（coskθ+isinkθ），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，[r（cosθ+isinθ）]^k+1=[r（cosθ+isinθ）]^kr（cosθ+isinθ）
=r^k（coskθ+isinkθ）r^k（cosθ+isinθ）=r^k+1[（coskθcosθ-sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]
=r^k+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，
綜上對(duì)n∈N^*，等式恒成立．
（2）解：二項(xiàng)式（1+i）¹⁰⁰的展開式的通項(xiàng)公式為T_k+1=C${\;}_{100}^{k}$i^k=，
則當(dāng)k=4n+2時(shí)，i^k=i⁴ⁿ⁺²=-1，
當(dāng)k=4n時(shí)，i^k=i⁴ⁿ=1，
則C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$為復(fù)數(shù)（1+i）¹⁰⁰的實(shí)部，
則[$\sqrt{2}$（cos$\frac{π}{4}$+isin$\frac{π}{4}$）]¹⁰⁰=（$\sqrt{2}$）¹⁰⁰（cos$\frac{100π}{4}$+isin$\frac{100π}{4}$）=2⁵⁰（cos25π+isin25π）=2⁵⁰，
即復(fù)數(shù)（1+i）¹⁰⁰的實(shí)部為-2⁵⁰，
即C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$=-2⁵⁰．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查推理和證明的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)歸納法以及二項(xiàng)展開式的內(nèi)容是解決本題的關(guān)鍵．特別是得到C${\;}_{100}^{0}$-C${\;}_{100}^{2}$+C${\;}_{100}^{4}$-C${\;}_{100}^{6}$+…-C${\;}_{100}^{98}$+C${\;}_{100}^{100}$為復(fù)數(shù)（1+i）¹⁰⁰的實(shí)部是解決的突破點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．