Question

9．如圖，AB=2，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值等于（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -2
• C． -1
• D． -$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，從而把要求的式子化為-2|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|，再利用基本不等式求得|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≤$\frac{1}{4}$，從而求得則（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$=-2|$\overrightarrow{PO}$|•$\overrightarrow{PC}$|，
∵|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1．
再利用基本不等式可得1≥2 $\sqrt{\overrightarrow{|PO}|•|\overrightarrow{PC}|}$，故有|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≤$\frac{1}{4}$，-|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≥-$\frac{1}{4}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=-2|$\overrightarrow{PO}$|•|$\overrightarrow{PC}$|≥-$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、以及基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題目．