Question

10．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知csinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角C的大��；
（2）c=$\sqrt{7}$，A≠$\frac{π}{2}$，sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，根據A為三角形的內角，得到sinA不為0，變形后得到tanC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）通過三角形的內角和，以及兩角和的正弦函數，以及sinC+sin（B-A）=3sin2A，A≠$\frac{π}{2}$，推出b=3a，由余弦定理可求出a，b的值，然后求解三角形的面積．

解答 解：（1）利用正弦定理化簡csinA=$\sqrt{3}$acosC得：sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
又A為三角形的內角，∴sinA≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即tanC=$\sqrt{3}$，
又C為三角形的內角，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
則$C=\frac{π}{3}$．
（2）由 C=π-（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
∵sinC+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA．  
∵A≠$\frac{π}{2}$，cosA≠0，則sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．②
結合c=$\sqrt{7}$，$C=\frac{π}{3}$，則由余弦定理可得：7=a²+9a²-3a²，解得a=1，b=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查正弦定理與余弦定理的應用，考查分析問題解決問題的能力，考查了計算能力，屬于基本知識的考查．