Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且a₂a₅=32，a₃+a₄=12，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=2b_n+2a_n（n∈N^*）
（1）證明：數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）若對任意n∈N^*，不等式（n+2）b_n+1≥λb_n，總成立，求實數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項，判斷數(shù)列n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1的單調(diào)性，結(jié)合不等式恒成立的思想方法，即可得到最大值．

解答 （1）證明：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₂a₅=a₃a₄=32，
又a₃+a₄=12，解得a₃=4，a₄=8或a₃=8，a₄=4，
由于等比數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
則a₃=4，a₄=8，
即有公比q=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=2，
則a_n=4•2^n-3=2^n-1；
b_n+1=2b_n+2a_n（n∈N^*）=2b_n+2ⁿ，
$\frac{_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{_{n}}{{2}^{n-1}}$+1，
即有數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}是公差為1，首項為1的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可得$\frac{_{n}}{{2}^{n-1}}$=1+n-1=n，
即有b_n=n•2^n-1，
不等式（n+2）b_n+1≥λb_n，
即為λ≤n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1對任意n∈N^*恒成立．
由于n+3+$\frac{1}{n+1}$•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-[n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1]=1-$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$，
且n（n+1）•2ⁿ＞n+2，則有n+2+$\frac{1}{n}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1遞增，
即有n=1時，取得最小值，且為3．
則λ≤3．
即有λ的最大值為3．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項的求法，同時考查數(shù)列不等式恒成立問題的解法，注意運用數(shù)列的單調(diào)性解決，屬于中檔題．