Question

8．已知向量$\vec a$=（2cosα，2sinα），$\vec b$=（3cosβ，3sinβ），$\vec a$與$\vec b$的夾角為60°，則直線$xcosα-ysinα+\frac{1}{2}=0$與圓${（x-cosβ）^2}+{（y+sinβ）^2}=\frac{1}{2}$的位置關(guān)系是（　�。�

• A． 相切
• B． 相交
• C． 相離
• D． 隨α，β的值而定

Answer 1

分析 只要求出圓心到直線的距離，與半徑比較，可以判斷直線與圓的位置關(guān)系．

解答 解：由已知得到|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，
$\vec a$•$\vec b$=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α-β）=6cos60°=3，
所以cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，
圓心到直線的距離為：$\frac{|cosβcosα+sinβsinα+\frac{1}{2}|}{\sqrt{co{s}^{2}α+（-sinα）^{2}}}$=|cos（α-β）+$\frac{1}{2}$|=1，
圓的半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以直線與圓相離；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積、兩角差的三角函數(shù)公式，點(diǎn)到直線的距離，直線與圓位置關(guān)系的判斷等知識(shí)點(diǎn)；比較綜合，但是難度不大．