Question

6．在實(shí)數(shù)集R上定義一種運(yùn)算“△”，對任意a，b∈R，具有性質(zhì)：①a△b=b△a；②a△1=a；③（a△b）△c=c△（a•b）+（a△c）+（b△c）+c，則當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=x△$\frac{1}{x}$的值域是（-∞，0]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)性質(zhì)即可得到f（x）=$x△\frac{1}{x}=（x△\frac{1}{x}）△1=x+\frac{1}{x}+2$，討論x＞0，x＜0，根據(jù)基本不等式即可得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：由運(yùn)算“△”的性質(zhì)知：$x△\frac{1}{x}=（x△\frac{1}{x}）△1=1△（x•\frac{1}{x}）$$+（x△1）+（\frac{1}{x}△1）+1$=1$+x+\frac{1}{x}+1=x+\frac{1}{x}+2$；
∴$f（x）=x+\frac{1}{x}+2$；
∴x＞0時(shí)，$x+\frac{1}{x}≥2$，f（x）≥4；
x＜0時(shí)，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，f（x）≤0；
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]∪[4，+∞）．
故答案為：（-∞，0]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評 考查對新運(yùn)算“△”的理解，想著利用性質(zhì)將函數(shù)f（x）的解析式求出來，從而便可求函數(shù)f（x）的值域，以及基本不等式在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，注意基本不等式成立的條件．