Question

15．已知虛數(shù)z₁，z₂滿足z₁²=z₂
（1）若z₁，z₂為某實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根，求z₁，z₂；
（2）若z₁=1+bi，|z₁|$≤\sqrt{2}$，ω=z₂+3，求|ω|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z₁ =a+bi，a、b∈R，b≠0，則z₂ =a-bi，再根據(jù) z₁²=z₂ ，可得 a²-b²+2abi=a-bi，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件求得a、b的值，可得z₁，z₂ ．
（2）由條件求得 0＜b²≤1，再根據(jù)|ω|=$\sqrt{{（4{-b}^{2}）}^{2}{+（2b）}^{2}}$=$\sqrt{{{（b}^{2}-2）}^{2}+12}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域．

解答 解：（1）若z₁，z₂為某實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根，則z₁，z₂為一對(duì)共軛虛數(shù)根．
設(shè)z₁ =a+bi，a、b∈R，b≠0，則z₂ =a-bi，再根據(jù) z₁²=z₂ ，可得 a²-b²+2abi=a-bi，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{-b}^{2}=a}\\{2ab=-b}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=±\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，∴z₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，z₂ =-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i； 或者 z₁=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，z₂ =-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i．
（2）由題意z₁=1+bi，|z₁|$≤\sqrt{2}$，可得 1+b²≤2，即 0＜b²≤1．
由ω=z₂+3=z₁² +3=1-b²+2bi+3=4-b²+2bi，
可得|ω|=$\sqrt{{（4{-b}^{2}）}^{2}{+（2b）}^{2}}$=$\sqrt{{{（b}^{2}-2）}^{2}+12}$∈[$\sqrt{13}$，4），
即|ω|的取值范圍為：[$\sqrt{13}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對(duì)定理，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．