Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n=-n²+16n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：
（2）若b_n=|a_n|，求數(shù)列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=-n²+16n與S_n+1=-（n+1）²+16（n+1）作差、整理可知a_n+1=-2（n+1）+17，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）易知當(dāng)n≤8時b_n=a_n，當(dāng)n≥9時b_n=-a_n，分n≤8、n≥9兩種情況討論、計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=-n²+16n，
∴S_n+1=-（n+1）²+16（n+1），
兩式相減得：a_n+1=-2n+15=-2（n+1）+17，
又∵a₁=-1+16=15滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-2n+17；
（2）由（1）易知當(dāng)n≤8時a_n＞0，當(dāng)n≥9時a_n＜0，
∴當(dāng)n≤8時b_n=a_n，當(dāng)n≥9時b_n=-a_n，
∴當(dāng)n≤8時，T_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（15-2n+17）}{2}$=-n²+16n；
當(dāng)n≥9時，T_n=a₁+a₂+…+a₈-a₉-a₁₀-…-a_n
=2T₈-（a₁+a₂+…+a_n）
=2（-8²+16×8）-$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$
=2（-8²+16×8）-$\frac{n（15-2n+17）}{2}$
=2（-8²+16×8）-（-n²+16n）
=n²-16n+128；
∴數(shù)列{a_n}的前n項和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+16n，}&{n≤8}\\{{n}^{2}-16n+128，}&{n≥9}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．