Question

7．在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）求其通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）計(jì)算出數(shù)列{a_n}前幾項(xiàng)的值，并猜想通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得：a₁=1或a₁=-1（舍），
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），即1+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），
整理得：${{a}_{2}}^{2}$+2a₂-1=0，
解得：a₂=$\sqrt{2}-1$或a₂=$-\sqrt{2}-1$（舍），
∴a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$），即1+$\sqrt{2}-1$+a₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$），
整理得：${{a}_{3}}^{2}$+2$\sqrt{2}$a₃-1=0，
解得：a₂=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$或a₂=$-\sqrt{3}-\sqrt{2}$（舍），
猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有a_k=$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$，
則a_k+1=S_k+1-S_k
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\sqrt{k}$，
整理得：${{a}_{k+1}}^{2}$+2$\sqrt{k}$a_k+1-1=0，
解得：a_k+1=$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$或a_k+1=-$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$（舍），
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由①、②可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．