Question

10．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{{2}^{x}}$；
（2）f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；
（3）f（x）=lgx²+lg$\frac{1}{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{{2}^{x}}$=$\frac{1+2•{2}^{x}+{2}^{2x}}{{2}^{x}}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2+2^x，
則f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+2+2^x=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）∵f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；
∴f（-x）+f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg（x²+1-x²）=lg1=0，
即f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=lgx²+lg$\frac{1}{{x}^{2}}$=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．