Question

3．已知曲線f（x）=-x³-2x²+2ax+8在（1，f（1））處切線與直線x-3y+1=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值并畫(huà)出y=f（x）的大致圖象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由直線垂直的條件：斜率之積為-1，即可得到a=2，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值和函數(shù)的圖象．

解答 解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)f′（x）=-3x²-4x+2a，
由題意f′（1）=-3-4+2a=-3，∴a=2，
∴f（x）=-x³-2x²+4x+8．
（Ⅱ）f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），
由f′（x）≥0得$-2≤x≤\frac{2}{3}$，由f′（x）≤0得$x≥\frac{2}{3}$或x≤-2，
∴單調(diào)增區(qū)間為$[{-2，\frac{2}{3}}]$，單減區(qū)間為（-∞，-2），$（\frac{2}{3}，+∞）$，
f（x）極小值=f（-2）=0f（x）極大值=$f（\frac{2}{3}）=9\frac{13}{27}$，
大致圖象如右圖．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．