Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)g（x）=log₄（a•2^x-1），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，則方程f（x）=g（x）有且只有一個實根，設(shè)2^x=t（t＞0），則（a-1）•t²-t-1=0有一解，討論a，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)
∴f（x）=f（-x）得到：f（-1）=f（1）⇒log₄（4^-1+1）-k=log₄（4+1）+k，
∴k=-$\frac{1}{2}$；
（2）$g（x）={log_4}（a•{2^x}-1）$
函數(shù)f（x）與g（x）圖象有且只有一個公共點，即方程f（x）=g（x）只有一個解
由已知得${log_4}（{4^x}+1）-\frac{1}{2}x={log_4}（a•{2^x}-1）$
∴${log_4}\frac{{{4^x}+1}}{2^x}={log_4}（a•{2^x}-1）$
方程等價于$\left\{{\begin{array}{l}{a•{2^x}-1＞0}\\{\frac{{{4^x}+1}}{2^x}=a•{2^x}-1}\end{array}}\right.$
設(shè)2^x=t（t＞0），則（a-1）•t²-t-1=0有一解
若a-1＞0，設(shè)h（x）=（a-1）•t²-t-1，
∵h(yuǎn)（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1滿足題意
若a-1=0，即a=1時，不滿足題意
若a-1＜0，即a＜1時，由△=1+4（a-1）=0，得a=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)a=$\frac{3}{4}$時，t=-2（舍去）
綜上所述實數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1}．

點評 本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．