Question

15．在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知A=$\frac{π}{3}$，a=2．
（Ⅰ）求△ABC面積S的最大值；
（Ⅱ）求sinB+cosB的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosA與a的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出△ABC面積S的最大值；
（Ⅱ）原式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，a=2，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得4=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，即bc≤4，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，
則S的最大值為$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵A=$\frac{π}{3}$，A+B+C=π，
∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，即$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$＜$\frac{11π}{12}$，
∴sin$\frac{11π}{12}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）≤sin$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）≤1，
則$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$＜sinB+cosB≤$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．