Question

11．直線l：y=m（m為實常數(shù)）與曲線E：y=|lnx|的兩個交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂，曲線E在點(diǎn)A、B處的切線PA、PB與y軸分別交于點(diǎn)M、N．有下面4個結(jié)論：①|(zhì)$\overrightarrow{MN}$|=2；②三角形PAB可能為等腰三角形；③若直線l與y軸的交點(diǎn)為Q，則$|{\overrightarrow{PQ}}$|=1；④當(dāng)x₁是函數(shù)g（x）=x²+lnx的零點(diǎn)時，$|{\overrightarrow{AO}}$|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）取得最小值．
其中正確結(jié)論的序號為①③．

Answer 1

分析 ①畫出y=m和y=|lnx|的圖象，求出切線的斜率，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)M，N，即可得到MN的長，即可判斷①；
②通過圖象觀察分析，兩切線垂直，即可判斷②；
③求出P的坐標(biāo)，再求PQ長，即可判斷③；
④由零點(diǎn)的定義，求出AO的長，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷④．

解答 解：對于①，作出函數(shù)的圖象，由|lnx₁|=|lnx₂|，可得，-lnx₁=lnx₂，
所以x₁x₂=1，且0＜x₁＜1，x₂＞1，故A（x₁，-lnx₁）B（x₂，lnx₂），
在A點(diǎn)處的切線斜率為-$\frac{1}{{x}_{1}}$，在B點(diǎn)處的切線斜率為：$\frac{1}{{x}_{2}}$，
則設(shè)M（0，s），N（0，n），
則有$\frac{s+{lnx}_{1}}{-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，解得，s=1-lnx₁，
由$\frac{n-{lnx}_{2}}{-{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{2}}$，解得，n=lnx₂-1，
則有|MN|=1-lnx₁-（lnx₂-1）=2-ln（x₁x₂）=2，故①正確；
對于②，若△PAB為等腰三角形，即PA=PB，或PA=AB，或PB=AB，
若PA=PB，則P在AB的中垂線上，不可能；若PA=AB，易得P的橫坐標(biāo)小于1，不成立；
若PB=AB，則由于-$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，即有PA⊥BP，則不成立，故②錯誤；
對于③，Q（0，m），由y+lnx₁=1-$\frac{1}{{x}_{1}}$x和y-lnx₂=$\frac{x}{{x}_{2}}$-1，x₁x₂=1，
解得交點(diǎn)P（$\frac{2{x}_{1}}{1+{x}_{1}^{2}}$，1-lnx₁-$\frac{2}{1+{x}_{1}^{2}}$），由于m=lnx₂=-lnx₁，
則有|PQ|=$\sqrt{（\frac{2{x}_{1}}{1+{x}_{1}^{2}}）^{2}+（\frac{{{x}_{1}}^{2}-1}{1+{x}_{1}^{2}}）^{2}}$=1．故③正確；
對于④，當(dāng)x₁是函數(shù)g（x）=x²+lnx的零點(diǎn)時，即有x₁²+lnx₁=0，
|$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+（{lnx}_{1}）^{2}}$，則|$\overrightarrow{AO}$|²=${x}_{1}^{2}+{（{lnx}_{1}）}^{2}$=x₁²+x₁⁴，
故不存在x₁∈（0，1），$|{\overrightarrow{AO}}$|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）取最小值，
故④不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，著重考查曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，兩點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離公式及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與分析運(yùn)算、判斷求解能力，屬于難題．