Question

4．三棱錐S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，若SB=SC，AB=AC=1且∠BAC=120°，SA與底面ABC所成角為60°，則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為（　　）

• A． 2π
• B． 3π
• C． 4π
• D． 5π

Answer 1

分析 取BC的中點D，連接AD，SD，求出SD，△ABC的外接圓的半徑，可得三棱錐S-ABC的外接球的半徑，即可求出三棱錐S-ABC的外接球的表面積．

解答 解：取BC的中點D，連接AD，SD，則
∵SB=SC，
∴SD⊥BC，
∵平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，
∴SD⊥平面ABC，
∵SA與底面ABC所成角為60°，
∴∠SAC=60°．
∵AB=AC=1且∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AD=$\frac{1}{2}$，
∴SD=2$\sqrt{3}$
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2，
∴r=1，
設(shè)球心到平面ABC的距離為h，則R²=h²+1=$\frac{1}{4}$+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-h）²，
∴三棱錐S-ABC的外接球的半徑為R=1，
∴三棱錐S-ABC的外接球的表面積為4π．
故選：C．

點評 本題考查三棱錐S-ABC的外接球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，確定三棱錐S-ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵．