Question

14．將${（{1-\frac{1}{x^2}}）^n}$（n∈N₊）的展開式中x^-4的系數(shù)記為a_n，則$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=$\frac{4028}{2015}$．

Answer 1

分析 由題意根據(jù)二項展開式的通項公式求得a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，再用裂項法求和求得$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$]的值．

解答 解：將${（{1-\frac{1}{x^2}}）^n}$（n∈N₊）的展開式中x^-4的系數(shù)記為a_n，則a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$]=$\frac{4028}{2015}$，
故答案為：$\frac{4028}{2015}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．