Question

2．設a、b、c∈R滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}-10a-11=0}\\{{a}^{2}-bc-4a-5=0}\end{array}\right.$，求ab+bc+ca的取值范圍．

Answer 1

分析 整體觀察已知與未知，會發(fā)現(xiàn)二者的相似之處是出現(xiàn)b²+c²、bc、b+c，于是聯(lián)想到與一元二次方程知識組塊有關．運用相關知識，可以把握解題方向．

解答 解：由題意，b²+c²=-a²+10a+11，bc=a²-4a-5，
∴b²+c²≥2|bc|，∴-a²+10a+11≥2|a²-4a-5|，
∴-1≤a≤7，
∵（b+c）²=b²+c²+2bc=（a+1）²，
∴|b+c|=|a+1|
b+c=a+1，ab+bc+ca=a（b+c）+bc=a（a+1）+a²-4a-5=2a²-3a-5=2（a-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{49}{8}$∈[-$\frac{49}{8}$，72]；
b+c=-（a+1），ab+bc+ca=a（b+c）+bc=-a（a+1）+a²-4a-5=-5a-5∈[-40，0]．

點評 本題考查求ab+bc+ca的取值范圍，考查學生分析解決問題的能力，發(fā)現(xiàn)二者的相似之處是出現(xiàn)b²+c²、bc、b+c，于是聯(lián)想到與一元二次方程知識組塊有關是解題的關鍵．