Question

11．給出下列五個(gè)命題，其中不正確的命題的序號(hào)是②④
①若a，b，c成等比數(shù)列，則b=$\root{3}{abc}$；
②若a，b，c成等比數(shù)列，則ma，mb，mc（m為常數(shù)）也成等比數(shù)列；
③若{a_n}的通項(xiàng)a_n=c（b-1）b^n-1（bc≠0且b≠1），則{a_n}是等比數(shù)列；
④若{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=apⁿ（a，p均為非零實(shí)數(shù)），則{a_n}是等比數(shù)列；
⑤若{a_n}是等比數(shù)列，則a_n，a_2n，a_3n也是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)判斷．

解答 解：對(duì)于①，若a，b，c成等比數(shù)列，則ac=b²，∴abc=b³，于是b=$\root{3}{abc}$，故①正確；
對(duì)于②，當(dāng)m=0時(shí)，ma=mb=mc=0，顯然ma，mb，mc（m為常數(shù)）不能組成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若{a_n}的通項(xiàng)a_n=c（b-1）b^n-1（bc≠0且b≠1），則$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=b，∴{a_n}是等比數(shù)列，故③正確；
對(duì)于④，若{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=apⁿ（a，p均為非零實(shí)數(shù)），n=1時(shí)，a₁=S₁=ap，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=ap^n-1（p-1）．
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=p-1，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=p．∴{a_n}不是等比數(shù)列，故④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，若{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a_n=a₁q^n-1，a_2n=a₁q^2n-1，a_3n=a₁q^3n-1．
∴a_na_3n=a₁²q^4n-2=a_2n²，∴a_n，a_2n，a_3n也是等比數(shù)列，故⑤正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等比關(guān)系的判斷，屬于中檔題．