Question

18．鄂西北某濕地公園里，A，B兩地相距2km，現在準備在濕地公園里圍成一片以AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域，建立生態(tài)觀光園．按照規(guī)劃，圍墻總長度為8km．求：
（1）平行四邊形另兩個頂點C，D所在的軌跡方程；
（2）觀光園的最大面積能達到多少？
（3）該濕地公園里有一條直線型步行小徑剛好過點A，且與AB成45°角，現要對步行小徑進行整修改造，但考慮到今后濕地公園里的步行小徑要重新設計改造，因此該步行小徑可能被觀光園圍住的部分暫不整修，那么暫不整修的部分有多長？

Answer 1

分析 （1）以AB為x軸、以AB的中垂線直角坐標系，設四邊形的頂點C的坐標是（x，y），由題意得|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，則動點軌跡為橢圓，由條件求出橢圓方程；
（2）由圖和三角形的面積公式求出觀光園的面積S=2S_△ABC=2|y_C|，在由橢圓的范圍求出觀光園的最大面積；
（3）將實際問題轉化為：直線l與橢圓相交求弦長問題，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再聯立直線方程和橢圓方程消去y后，由根與系數的關系、以及弦長公式進行求解．

解答 解：（1）以AB為x軸，以AB的中垂線直角坐標系，如右圖：
設四邊形的頂點C的坐標是（x，y），則D（-x，-y）且A（-1，0），B（1，0），
由題意得，|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，
所以點C軌跡為橢圓，且a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
四邊形另兩個頂點的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由圖得，觀光園的最大面積S=2S_△ABC=2×$\frac{1}{2}$|AB||y_C|=2|y_C|，
因為|y_C|≤$\sqrt{3}$，則2|y_C|≤2$\sqrt{3}$，
所以農藝園的最大面積能達到2$\sqrt{3}$km²；
（3）因為直線型步行小徑剛好通過點A，且l與AB成45°角，所以直線l的方程為：y=x+1，
設直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$相交于點P、Q兩點，則步行小徑可能被觀光園圍住的部分為PQ，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直線與橢圓聯立得，7x²+8x-8=0，
所以x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
則|PQ|=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{64}{49}-4×（-\frac{8}{7}）}$=$\frac{24}{7}$（km），
所以暫不整修的部分為$\frac{24}{7}$km．

點評 本題考查圓錐曲線在實際生活中的應用，涉及橢圓的定義、標準方程和性質，直線與圓的位置關系：弦長公式、韋達定理等應用，解題時要認真審題、仔細解答，題目新穎，體現數學與實際生活的關系．