Question

5．設(shè)a為實(shí)數(shù)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x＞a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}，x≤a}\end{array}\right.$，g（x）=ax|x-a|．
（1）若x≤a時(shí)，方程f（x）=g（x）無(wú)解，求a的范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）．
①若h（x）=F′（x），寫(xiě)出函數(shù)h（x）的最小值；
②當(dāng)x＞a時(shí)，求函數(shù)H（x）=F（x）-x的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{3}$x³=ax|x-a|，解方程可得a的范圍；
（2）①求出h（x），配方，討論a的符號(hào)，即可得到所求最小值；
②當(dāng)x＞a時(shí)，求出H（x）的導(dǎo)數(shù)，以及二次函數(shù)的判別式，對(duì)△≤0，求出增區(qū)間；△＞0，求出兩根，討論x₁，a，x₂的大小，結(jié)合二次不等式的解法，即可得到所求增區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=g（x）且x≤a，
∴$\frac{1}{3}$x³=ax|x-a|，
∴x=0或$\frac{1}{3}$x²=a|x-a|，
由于方程f（x）=g（x）在x≤a無(wú)解，
∴a＜0；                      
（2）①∵函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}+{a}^{2}x，x＞a}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}+a{x}^{2}-{a}^{2}x，x≤a}\end{array}\right.$，
∴可求得h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-2ax+{a}^{2}，x＞a}\\{{x}^{2}+2ax-{a}^{2}，x≤a}\end{array}\right.$，
即為h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3（x-\frac{1}{3}a）^{2}+\frac{2}{3}{a}^{2}，x＞a}\\{（x+a）^{2}-2{a}^{2}，x≤a}\end{array}\right.$，
當(dāng)a≥0時(shí)，h（x）_min=-2a²；當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）_min=-$\frac{2}{3}$a²；
②當(dāng)x＞a時(shí)，H（x）=F（x）-x=x³-ax²+（a²-1）x，
所以H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）（x＞a），
先求△=4a²-12（a²-1）=4（3-2a²），分類(lèi)討論如下：
（1）當(dāng)△≤0，即a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時(shí)恒成立，
所以函數(shù)H（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）；
（2）當(dāng)△＞0，即-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，
方程3x²-2ax+（a²-1）=0在R上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁=$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，
顯然x₁＜x₂；我們注意到x＞a，因此我們有必要對(duì)x₁，a，x₂的大小進(jìn)行比較．
此時(shí)可作如下的分類(lèi)討論：
第一種情況：當(dāng)a＜x₁即a＜$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$時(shí)，
在（2）的大前提下，可解得：-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此時(shí)H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時(shí)的解集為（a，x₁]∪[x₂，+∞），
所以函數(shù)H（x）的增區(qū)間為（a，$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$]與[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
第二種情況：當(dāng)x₁≤a＜x₂即$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$≤a＜$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$時(shí)，
在（2）的大前提下，可解得：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
此時(shí)H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時(shí)的解集為[x₂，+∞），
所以函數(shù)H（x）的增區(qū)間為[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
第三種情況：當(dāng)a≥x₂即a≥$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$時(shí)，在（2）的大前提下，
可解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此時(shí)H′（x）=3x²-2ax+（a²-1）≥0在x＞a時(shí)的解集為[a，+∞），
所以函數(shù)H（x）的增區(qū)間為[a，+∞）．
綜上所述：
當(dāng)a≤-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，函數(shù)H（x）的增區(qū)間為（a，+∞）；
當(dāng)-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)時(shí)，函數(shù)H（x）的增區(qū)間為（a，$\frac{a-\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$]與[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．
當(dāng)-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，函數(shù)H（x）的增區(qū)間為[$\frac{a+\sqrt{3-2{a}^{2}}}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論思想方法，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，以及運(yùn)算求解能力，屬于難題．