Question

10．某公司在新年晚會上舉行抽獎活動，有甲，乙兩個抽獎方案供員工選擇．
方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率均為$\frac{4}{5}$，第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束，若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎，規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，則獲得1000元；若未中獎，則不能獲得獎金．
方案乙：員工連續(xù)三次抽獎，每次中獎率均為$\frac{2}{5}$，每次中獎均可獲得獎金400元．
（Ⅰ）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列；
（Ⅱ）試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，哪個方案更劃算？
（Ⅲ）已知公司共有100人在活動中選擇了方案甲，試估計這些員工活動結束后沒有獲獎的人數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知X可能的取值為0，500，1000，分別求出相應的概率，由此能求出某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列．
（Ⅱ）求出方案甲抽獎所獲獎金X的均值，選擇方案乙進行抽獎中獎次數(shù)ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），從而抽獎所獲獎金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，由此得到選擇方案甲較劃算．
（Ⅲ）選擇方案甲不獲獎的概率為$\frac{7}{25}$，這些員工不獲獎的人數(shù)Y～B（100，$\frac{7}{25}$），由此能求出這些員工不獲獎的人數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）由題意知X可能的取值為0，500，1000，（1分）
$P（X=0）=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}•\frac{1}{2}•\frac{1}{5}=\frac{7}{25}$，
$P（X=500）=\frac{4}{5}•\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$，
$P（X=1000）=\frac{4}{5}•\frac{1}{2}•\frac{4}{5}=\frac{8}{25}$（4分）
所以某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金X（元）的分布列為

X	0	500	1000
P	$\frac{7}{25}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{25}$

（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方案甲抽獎所獲獎金X的均值$E（X）=500•\frac{2}{5}+1000•\frac{8}{25}=520$，（6分）
若選擇方案乙進行抽獎中獎次數(shù)ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），
則$E（ξ）=3•\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$，（8分）
抽獎所獲獎金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，
因邊E（X）＞E（ξ），
故選擇方案甲較劃算．    （10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知選擇方案甲不獲獎的概率為$\frac{7}{25}$，
這些員工不獲獎的人數(shù)Y～B（100，$\frac{7}{25}$），
$E（Y）=100×\frac{7}{25}=28$，故這些員工不獲獎的人數(shù)約為28人．（12分）

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．