Question

17．我們把焦點相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“合一曲線”，已知F₁，F(xiàn)₂是一對“合一曲線”的焦點，P是他們在第一象限的交點，當(dāng)|PF₁|=10，|PF₂|=8時，這一對“合一曲線”中橢圓的離心率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓及雙曲線的定義求得橢圓與雙曲線的長半軸和實半軸長，由離心率互為倒數(shù)求得c，則答案可求．

解答 解：由題意可知，橢圓中，2a₁=10+8=18，${e}_{1}=\frac{c}{9}$，
雙曲線中，2a₂=10-8=2，${e}_{2}=\frac{c}{1}$，
∵e₁•e₂=1，∴$\frac{{c}^{2}}{9}=1$，c=3．
則${e}_{1}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的定義，考查了橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．