Question

19．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，點P為拋物線C上的一點，點P處的切線與直線y=x平行，且|PF|=3，則拋物線C的方程為（　　）

• A． x²=4y
• B． x²=8y
• C． x²=6y
• D． x²=16y

Answer 1

分析 設出切點坐標，求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程，以及|PF|=3，求解即可．

解答 解：設切點坐標P（m，$\frac{{m}^{2}}{2p}$），拋物線C：x²=2py，
可得：y′=$\frac{x}{p}$
點P為拋物線C上的一點，點P處的切線與直線y=x平行，
可得$\frac{m}{p}=1$，…①
又|PF|=3，
所以$\frac{{m}^{2}}{2p}+\frac{p}{2}$=3，…②
解①②可得：p=m=3．
拋物線C的方程為：x²=6y．
故選：C．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，函數(shù)的導數(shù)的應用，考查轉化思想以及計算能力．