Question

9．如圖，平面PAC⊥平面ABC，點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，點G是線段CO的中點，AB=BC=AC=4，PA=PC=2$\sqrt{2}$．求證：
（1）PA⊥平面EBO
（2）FG∥平面EBO．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BO⊥AC，從而BO⊥面PAC，進而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能證明PA⊥平面EBO．
（2）連AF交BE于Q，連QO，推導(dǎo)出Q是△PAB的重心，從而FG∥QO，由此能證明FG∥平面EBO．

解答 證明：（1）由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，
△ABC為等邊三角形．    …（2分）
因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC，
因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BO?平面ABC，所以BO⊥面PAC． …（5分）
因為PA?平面PAC，所以BO⊥PA，
在等腰△PAC內(nèi)，O、E為所在邊的中點，所以O(shè)E⊥PA，
又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO，…（8分）
（2）連AF交BE于Q，連QO．
因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，
所以$\frac{AO}{OG}$=2，且Q是△PAB的重心，…（10分）
于是$\frac{AQ}{QF}$=2=$\frac{AO}{OG}$，所以FG∥QO．…（12分）
因為FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO．     …（14分）

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．