Question

9．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=2e^x-2e^-x-4x，且g（x）=f（2x）-4mf（x）．
（1）證明：函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線的斜率為非負(fù)實(shí)數(shù)；
（2）若x＞0時(shí)，g（x）＞0，求m的最大值；
（3）估計(jì)ln2的近似值（精確到0.001）．（注：1.4142＜$\sqrt{2}$＜1.4143）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的解析式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．
（2）先驗(yàn)證g（0）=0，只需說(shuō)明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，從而問題轉(zhuǎn)化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；
（3）根據(jù)第（2）問的結(jié)論，設(shè)法利用$\sqrt{2}$的近似值，并尋求ln2，于是在m=2及m＞2的情況下分別計(jì)算g（ln$\sqrt{2}$），最后可估計(jì)ln2的近似值．

解答 證明：（1）∵奇函數(shù)f（x）滿足f（x）-f（-x）=2e^x-2e^-x-4x，
∴2f（x）=2e^x-2e^-x-4x，
則f（x）=e^x-e^-x-2x，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x+e^-x-2，
∵e^x+e^-x$≥2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
∴f′（x）=e^x+e^-x-2≥0，
即函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線的斜率為非負(fù)實(shí)數(shù)．
解：（2）g（x）=f（2x）-4mf（x）=e^2x-e^-2x-4m（e^x-e^-x）+（8m-4）x，
則g′（x）=2[e^2x+e^-2x-2m（e^x+e^-x）+（4m-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2m（e^x+e^-x）+（4m-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x+2-2m）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴當(dāng)2m≤4，即m≤2時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
從而g（x）在R上為增函數(shù)，而g（0）=0，
∴x＞0時(shí)，g（x）＞0，符合題意．
②當(dāng)b＞2時(shí)，若x滿足2＜e^x+e^-x＜2m-2，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＜{e}^{x}+{e}^{-x}}\\{{e}^{x}+{e}^{-x}＜2m-2}\end{array}\right.$，得0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$），
此時(shí)，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，當(dāng)0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）時(shí)，g（x）＜0，不符合題意．
綜合①、②知，m≤2，得m的最大值為2．
解：（3）∵1.4142＜$\sqrt{2}$＜1.4143，根據(jù)（Ⅱ）中g(shù)（x）=e^2x-e^-2x-4m（e^x-e^-x）+（8m-4）x，
為了湊配ln2，并利用$\sqrt{2}$的近似值，故將ln$\sqrt{2}$即$\frac{1}{2}ln2$代入g（x）的解析式中，
得g（ln$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$m+2（2m-1）ln2．
當(dāng)m=2時(shí)，由g（x）＞0，得g（ln$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$-4$\sqrt{2}$+6ln2，
從而ln2＞$\frac{8\sqrt{2}-3}{12}＞\frac{8×1.4142-3}{12}$=0.6928；
令ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）=ln$\sqrt{2}$，
得m=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$+1＞2，]
當(dāng)0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）時(shí)，
由g（x）＜0，得g（ln$\sqrt{2}$）=-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$m+（3$\sqrt{2}$+2）ln2＜0，
得ln2＜$\frac{18+\sqrt{2}}{28}$$＜\frac{18+1.4143}{28}＜$0.6934．
所以ln2的近似值為0.693

點(diǎn)評(píng) 本題三個(gè)小題的難度逐步增大，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性深層次的把握能力，對(duì)思維的要求較高，屬壓軸題．從求解過(guò)程來(lái)看，對(duì)導(dǎo)函數(shù)解析式的合理變形至關(guān)重要，因?yàn)檫@直接影響到對(duì)導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷，是解決本題的一個(gè)重要突破口．