Question

2．已知點(diǎn)A、B是函數(shù)f（x）=x²圖象上位于對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)的兩動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$），若向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．則三角形ABO與三角形AFO面積之和的取值范圍是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． [3，+∞）
• C． [$\frac{17\sqrt{2}}{8}$，+∞）
• D． [0，3]

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)點(diǎn)A（-x，x²）（x＞0）、利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2、計(jì)算可知B（$\frac{2}{x}$，$\frac{4}{{x}^{2}}$），過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸垂線且垂足分別為C、D，通過(guò)S_△ABO+S_△AFO=S_梯形ACDB-S_△ACO-S_△BDO+S_△AFO、利用面積計(jì)算公式及基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A（-x，x²）（x＞0）、B（p，p²）（p＞0），
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，即-xp+（xp）²=2，
∴（xp）²-xp-2=0，
解得：xp=2或xp=-1（舍），
∴p=$\frac{2}{x}$，即B（$\frac{2}{x}$，$\frac{4}{{x}^{2}}$），
過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸垂線，垂足分別為C、D，
則S_△ABO+S_△AFO=S_梯形ACDB-S_△ACO-S_△BDO+S_△AFO
=$\frac{1}{2}$（AC+BD）•CD-$\frac{1}{2}$AC•CO-$\frac{1}{2}$BD•OD+$\frac{1}{2}$OF•CO
=$\frac{1}{2}$（x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$）•（x+$\frac{2}{x}$）-$\frac{1}{2}$x²•x-$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{{x}^{2}}$•$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{4}$•x
=$\frac{1}{2}$（x³+$\frac{4}{x}$+2x+$\frac{8}{{x}^{3}}$-x³-$\frac{8}{{x}^{3}}$+$\frac{x}{4}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{x}$+2x+$\frac{x}{4}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{x}$+$\frac{9x}{4}$）
≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{4}{x}•\frac{9x}{4}}$（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{x}$=$\frac{9x}{4}$即x=$\frac{4}{3}$時(shí)等號(hào)成立）
=3，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算，涉及面積的計(jì)算方法、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．