Question

5．已知點M到點F（2，0）的距離比到點M到直線x+6=0的距離小4；
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若曲線C上存在兩點A，B關于直線l：y=$\frac{1}{4}$x-2對稱，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）通過設M（x，y），利用點M到點F（2，0）的距離比點M到直線x+6=0的距離小4，化簡即得結(jié)論；
（2）通過設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）可知（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），利用直線AB的斜率為-4可知$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-4，進而可知AB中點的坐標為（4，-1），計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設M（x，y），
∵點M到點F（2，0）的距離比點M到直線x+6=0的距離小4，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-0）^{2}}$+4=|x+6|，
化簡得：y²=8x，
∴點M的軌跡C的方程為：y²=8x；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${{y}_{1}}^{2}$=8x₁，${{y}_{2}}^{2}$=8x₂，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
又∵直線AB的斜率為-4，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-4，
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{1}{8}（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{2}-{y}_{1}）}$=-4，即$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=-1，
∴AB中點的坐標為（4，-1），
∴直線AB的方程為：y+1=-4（x-4），即4x+y-15=0，
經(jīng)檢驗，此時直線AB與拋物線有兩個不同的交點，滿足題意．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．