Question

20．已知：$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），其中0≤α≤β≤2π，設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，下列判斷有：
①|(zhì)$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|$＞\sqrt{3}$?θ∈（$\frac{2π}{3}$，π）；
②若$α+β=\frac{π}{6}$，記f（α）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，則將f（α）的圖象保持縱坐標不變，橫坐標向左平移$\frac{π}{6}$單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
③若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）$∥\overrightarrow$，且（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）∥$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{c}≠\overrightarrow{0}$），則$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$
④已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$θ=\frac{2}{3}π$，C在以O(shè)為圓心的圓AB上運動，且滿足$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，（x，y∈R），則x+y∈[1，2]；
上述命題正確的有①③④．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），可得|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos（α-β）=cosθ．
利用數(shù)量積的性質(zhì)可及向量夾角公式即可，可判斷①；根據(jù)平移后函數(shù)的定義域不對稱，可判斷②；根據(jù)已知判斷$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$是否成立，可判斷③；根據(jù)已知求出x+y的范圍，可判斷④．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ）
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosα•cosβ+sinα•sinβ=cos（α-β）=cosθ．
對于①|(zhì)$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|$＞\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²＞3，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜-$\frac{1}{2}$，
∴-1≤cosθ＜-$\frac{1}{2}$．
∴θ∈（$\frac{2π}{3}$，π]，故正確．
對于②：∵$α+β=\frac{π}{6}$，
∴f（α）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cos（α-β）=2cos（2α-$\frac{π}{6}$），
由0≤α≤β≤2π，可得：0≤α＜$\frac{π}{12}$，將f（α）的圖象保持縱坐標不變，橫坐標向左平移$\frac{π}{6}$單位后得到的函數(shù)g（α）=2cos（2α+$\frac{π}{6}$）不是偶函數(shù)，因為其定義域關(guān)于原點不對稱，故錯誤；
對于③：∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）∥$\overline$，且（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）∥$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{c}≠\overrightarrow{0}$），
∴$\overrightarrow{c}$∥（$\overline$-$\overrightarrow{a}$），$\overrightarrow{c}$∥（$\overrightarrow{a}$-$\overline$），因此$\overrightarrow{a}$+$\overline$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，故正確．
對于④：∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$θ=\frac{2}{3}π$，
C在以O(shè)為圓心的圓弧$\widehat{AB}$上運動，不妨取α=0，β=$\frac{2π}{3}$．
建立如圖所示的直角坐標系．
A（1，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵滿足$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=（x-$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
∴x²+y²-xy=1．
當x=1，y=0或x=0，y=1時，x+y=1，取得最小值；
當x=y=1時，x+y=2取得最大值．
則x+y∈[1，2]，因此正確．
綜上可得：只有①③④正確．
故答案為：①③④

點評 本題綜合考查了向量的坐標運算、數(shù)量積運算及其性質(zhì)、向量共線定理、共面向量基本定理，函數(shù)的奇偶性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．