Question

12．已知α＞0且a≠1，函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x+3a-4，（x≤0）}\\{{a}^{x}，（x＞0）}\end{array}\right.$滿足對任意實數x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（1，\frac{5}{3}]$
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． $[\frac{5}{3}，2）$

Answer 1

分析 由題意可得（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0，可得f（x）在R上為增函數，運用單調性的定義可得a-1＞0，（a-1）•0+3a-4≤a⁰，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），可得
（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＞0，
由題意可得f（x）在R上為增函數，
當x≤0時，f（x）遞增，即有a-1＞0，解得a＞1；
當x＞0時，f（x）遞增，可得a＞1；
又f（x）為R上的增函數，可得（a-1）•0+3a-4≤a⁰，
解得a≤$\frac{5}{3}$．
綜上可得，a的范圍是1＜a≤$\frac{5}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查函數的單調性的判斷和運用，注意運用一次函數和指數函數的單調性，以及分界點的情況，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．