Question

3．已知實數(shù)a、b滿足0＜a＜1，0＜b＜1，求證：$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 建立坐標系，正方形的邊長為1，則O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），正方形內取點D（a，b），a、b滿足0＜a＜1，0＜b＜1，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$表示OD+AD+CD+BD，利用OD+BD≥OB，AD+CD≥AC，即可證明結論．

解答 證明：建立如圖所示的坐標系，正方形的邊長為1，則O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），正方形內取點D（a，b），a、b滿足0＜a＜1，0＜b＜1，
$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$表示OD+AD+CD+BD，利用OD+BD≥OB，AD+CD≥AC，
可得OD+AD+CD+BD≥OB+AC=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}+（b-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}}$≥2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查構造法的運用，正確利用幾何意義是關鍵．