Question

12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，1），B（-3，4），C在角∠AOB的平分線上，|$\overrightarrow{OC}$|=2，C坐標(biāo)為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• B． （-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• C． （$\frac{\sqrt{10}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）
• D． （-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$）

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理，求出OC所在直線分有線向量AB所成的比．然后代入定比分點(diǎn)公式求出OC與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量的模求出答案．

解答 解：∵A（0，1），B（-3，4），|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=5，設(shè)OC與AB交于D（x，y）點(diǎn)，
則有AD：BD=1：5，
即D分有向線段AB所成的比為$\frac{1}{5}$，故有x=$\frac{0+\frac{1}{5}×（-3）}{1+\frac{1}{5}}$=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1+\frac{1}{5}×4}{1+\frac{1}{5}}$=$\frac{3}{2}$，$\overrightarrow{OD}$
則$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
由|$\overrightarrow{OC}$|=2，可得$\overrightarrow{OC}$=2•$\frac{\overrightarrow{OD}}{|\overrightarrow{OD}|}$=（-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{3\sqrt{10}}{5}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線段的定比分點(diǎn)，有向線段A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．及點(diǎn)C分線段AB所成的比，求分點(diǎn)C的坐標(biāo)，可將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：坐標(biāo)公式$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+λ{(lán)•x}_{2}}{1+λ}}\\{y=\frac{{y}_{1}+λ{(lán)•y}_{2}}{1+λ}}\end{array}\right.$進(jìn)行求解，屬于中檔題．