Question

19．已知f（x）=log₂（4^x+1）+kx，（k∈R）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=log₂（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），其中a＞0，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用偶函數(shù)滿(mǎn)足f（-x）=f（x）得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的恒等式，據(jù)此整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果；
（2）換元后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，然后結(jié)合題意分類(lèi)討論即可求得最終結(jié)果．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函數(shù)，則f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x），
則對(duì)任意的x∈R，都有：log₂（4^-x+1）-kx=log₂（4^x+1）+kx，
據(jù)此可得：k=-1．
（2）令t=2^x，則 $t＞\frac{4}{3}$，原問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于t的方程：$（a-1）{t}^{2}-\frac{4}{3}at-1=0$ （*）
在區(qū)間 上存在唯一的實(shí)數(shù)解，分類(lèi)討論如下：
①當(dāng)a=1時(shí)，解得：$t=\frac{3}{4}∉（\frac{4}{3}，+∞）$，不合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令 $h（t）=（a-1）{t}^{2}-\frac{4}{3}at-1$，
其圖象的對(duì)稱(chēng)軸 $t=\frac{2a}{3（a-1）}＜0$，
函數(shù)h（t）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，而h（0）=-1，
故方程（*）在 $（\frac{4}{3}，+∞）$上無(wú)解．
③當(dāng)a＞1時(shí)，令 $h（t）=（a-1）{t}^{2}-\frac{4}{3}at-1$，
其圖象的對(duì)稱(chēng)軸 $t=\frac{2a}{3（a-1）}＞0$，
此時(shí)只需$h（\frac{4}{3}）＜0$，即$\frac{16}{9}（a-1）-\frac{16}{9}a-1＜0$，
此式恒成立，則此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論的思想，換元法等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于中等題．