Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-a

2x+1

，其中a為常數(shù)，且函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，并給予證明；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過奇函數(shù)的定義，比較系數(shù)，即可求a的值；
（2）直接判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明；
（3）利用反函數(shù)的定義域，求解函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以對任意實數(shù)x（x≠0），
都有f（-x）=-f（x），即

2-x-a

2-x+1

=-

2x-a

2x+1

，
整理得（a+1）（2^x-1）=0，
因為2^x-1不恒為零，所以a+1=0，a=-1．…（4分）
（2）函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

（0，+∞）是增函數(shù)，證明如下：
在區(qū)間（0，+∞）上任取x₁＞x₂＞0，則2x1-2x2＞0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
所以f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，結(jié)論成立．…（10分）
（3）設(shè)y=

2x-1

2x+1

，整理得2x=

y+1

1-y

(y≠1)，由2^x＞0，

y+1

1-y

＞0，
解得-1＜y＜1，故函數(shù)的值域為（-1，1）． …（16分）

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，反函數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．