Question

把一個周長為18cm的長方形圍成一個圓柱．
（1）求圓柱的體積V（x）關(guān)于圓柱底面周長x的函數(shù)，并指出定義域；
（2）當圓柱的體積V（x）最大時，求圓柱的底面周長與高的比值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)圓的周長表示出半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式，求出體積即可，根據(jù)函數(shù)的實際意義求出定義域，
（2）利用導數(shù)求出圓柱的體積的最大值時x的值，即可求出圓柱的底面周長與高的比值．

解答： 解：（1）因為圓柱底面周長x為長方形一條邊長，
所以圓柱的高是另一邊長為（

18

2

-x）=（9-x），
因為設圓柱的底面半徑為r，
則2πr=x，
解得r=

x

2π

，
所以V（x）=π(

x

2π

)2•（9-x）=

1

4π

（9x²-x³），定義域為（0，9），
（2）V′（x）=

1

4π

（18x-3x²），
令V′（x）=0，解得x=6，
當V′（x）＞0，即0＜x＜6時，函數(shù)遞增，
當V′（x）＜0，即6＜x＜9時，函數(shù)遞減，
故當x=6時，函數(shù)V（x）有最大值，
此時圓柱的高為9-6=3，
故圓柱的底面周長與高的比值為

6

3

=2．

點評：本題考查了導數(shù)的再幾何中的應用，關(guān)鍵是利用導數(shù)求出函數(shù)最值，屬于中檔題