Question

19．已知ax³=by³=cz³，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=1，求證：（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=a${\;}^{\frac{1}{3}}$+b${\;}^{\frac{1}{3}}$+c${\;}^{\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 設(shè)ax³=by³=cz³=t³，則$\root{3}{a}$+$\root{3}$+$\root{3}{c}$=t（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）=t，再推導(dǎo)出（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=t．由此能證明（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=a${\;}^{\frac{1}{3}}$+b${\;}^{\frac{1}{3}}$+c${\;}^{\frac{1}{3}}$．

解答 證明：∵ax³=by³=cz³，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=1，
∴設(shè)ax³=by³=cz³=t³，∴a=$\frac{{t}^{3}}{{x}^{3}}$，b=$\frac{{t}^{3}}{{y}^{3}}$，c=$\frac{{t}^{3}}{{z}^{3}}$，
∵$\root{3}{a}$+$\root{3}$+$\root{3}{c}$=t（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）=t，
（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=$\root{3}{a{x}^{3}×\frac{1}{x}+b{y}^{3}×\frac{1}{y}+c{z}^{3}×\frac{1}{z}}$=t．
∴（ax²+by²+cz²）${\;}^{\frac{1}{3}}$=a${\;}^{\frac{1}{3}}$+b${\;}^{\frac{1}{3}}$+c${\;}^{\frac{1}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等式的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．