Question

13．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：
（1）x₁x₂=-p²，y₁y₂=$\frac{p2}{4}$；
（2）$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$為定值；
（3）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)AB直線方程是y=kx+$\frac{p}{2}$，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線方程，即可得證；
（2）運(yùn)用拋物線的定義和韋達(dá)定理，計(jì)算即可得到定值；
（3）求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，以及AB的長(zhǎng)，求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，即可得證．

解答 證明：（1）拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{p}{2}$），準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)AB直線方程是y=kx+$\frac{p}{2}$，
則x₁，x₂是方程$\frac{1}{2p}$x²-kx-$\frac{p}{2}$的兩根，
可設(shè)x₁＞0，x₂＜0，A（x₁，$\frac{1}{2p}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2p}$x₂²），
x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）由拋物線的定義可得|AF|=$\frac{1}{2p}$x₁²+$\frac{p}{2}$，|BF|=$\frac{1}{2p}$x₂²+$\frac{p}{2}$，
即有|AF|+|BF|=$\frac{1}{2p}$（x₁+x₂）²-$\frac{1}{p}$x₁x₂+p=2pk²+2p，
|AF|•|BF|=（$\frac{1}{2p}$）²x₁²x₂²+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$（x₁²+x₂²）
=$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$×2p²（1+2k²）=p²（1+k²），
則有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{2p（1+{k}^{2}）}{{p}^{2}（1+{k}^{2}）}$=$\frac{2}{p}$，即為定值；
（3）由（1）可得x₁+x₂=2pk，即AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為pk，
代入直線方程是y=kx+$\frac{p}{2}$，可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為pk²+$\frac{p}{2}$，
即有AB的中點(diǎn)為（pk，pk²+$\frac{p}{2}$），
|AB|=|AF|+|BF|=2pk²+2p，圓的半徑為r=pk²+p，
AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為pk²+$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$=pk²+p=r，
則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法的運(yùn)用，同時(shí)考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線和圓相切的條件：d=r，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．