Question

3．已知兩條斜率為1的直線L₁，L₂分別過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，且L₁與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，L₂與雙曲線交于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD滿足AC⊥AB，則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用AC⊥AB，斜率為1，可得A（$-\frac{c}{2}，\frac{c}{2}$），代入雙曲線方程，可得e的方程，即可求出e的值．

解答 解：由題意，A，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∵AC⊥AB，直線斜率為1
∴A（$-\frac{c}{2}，\frac{c}{2}$）
代入雙曲線方程可得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{^{2}}=1$，
化簡(jiǎn)可得e⁴-6e²+4=0，
∵e＞1，
∴e²=$\frac{（\sqrt{5}+1）^{2}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．