Question

14．設(shè)f（x）=ax²+2x+1-lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）是否存在極值點(diǎn)；若存在，求出該極值點(diǎn)，若不存在，說(shuō)明理由；
（2）求f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件；
（3）若f（x）為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2ax²+2x-1，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件即為h（x）=0有兩個(gè)不相等的正根，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，解不等式即可得到a的范圍；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2ax²+2x-1，討論a=0，a＞0，a＜0，通過(guò)對(duì)稱(chēng)軸和二次函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=ax²+2x+1-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=-$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x}$=-$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）≤0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）遞減，
則有f（x）不存在極值點(diǎn)；
（2）由于f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令h（x）=2ax²+2x-1，
f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件即為h（x）=0有兩個(gè)不相等的正根，
則有a≠0，判別式4+8a＞0，且-$\frac{1}{a}$＞0，-$\frac{1}{2a}$＞0，
解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0；
（3）由于f′（x）=2ax+2-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令h（x）=2ax²+2x-1，
當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=2x-1，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$，f（x）遞增，0＜x＜$\frac{1}{2}$，f（x）遞減，
不合題意；
當(dāng)a＞0，g（x）的對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{1}{2a}$＜0，g（x）在（0，+∞）遞增，g（0）=-1＜0，
即有g(shù)（x）在x＞0上有正有負(fù)，f（x）有增有減，不合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{1}{2a}$＞0，g（0）=-1＜0，
由題意可得g（x）只需滿足判別式4+8a≤0即可．
解得a≤-$\frac{1}{2}$．
綜上可得a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．