Question

3．設(shè)t∈R，對任意的n∈N^*，不等式ntlnn+20lnt≥ntlnt+20lnn，則t的取值范圍是[4，5]．

Answer 1

分析 由不等式ntlnn+20lnt≥ntlnt+20lnn，得（tn-20）ln（$\frac{n}{t}$）≥0，等價于$\left\{\begin{array}{l}{tn≥20}\\{\frac{n}{t}≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{tn≤20}\\{0＜\frac{n}{t}≤1}\end{array}\right.$，分離出參數(shù)t后化為函數(shù)的最值可求，注意n的取值范圍．

解答 解：由不等式ntlnn+20lnt≥ntlnt+20lnn，得
nt（Inn-Int）≥20（Inn-Int），即（tn-20）ln（$\frac{n}{t}$）≥0，
（tn-20）ln（$\frac{n}{t}$）≥0等價于$\left\{\begin{array}{l}{tn≥20}\\{\frac{n}{t}≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{tn≤20}\\{0＜\frac{n}{t}≤1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≥\frac{20}{n}}\\{t≤n}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{t≤\frac{20}{n}}\\{t≥n}\end{array}\right.$ ②，
對于①有n≥5，
∵對于n恒成立，
∴t≥$（\frac{20}{n}）_{max}=4$，且t≤n_min=5，∴t∈[4，5]；
同理由②也得t∈[4，5]，
綜上得，t∈[4，5]．
故答案為：[4，5]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，不等式的等價轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化思想，準(zhǔn)確理解題意是解決該題的關(guān)鍵，是中檔題．