Question

13．已知橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，設(shè)P是橢圓上的任一點(diǎn)，則△PAB的最大值為$\sqrt{2}$+1，若已知M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），點(diǎn)Q為橢圓上的任意一點(diǎn)，則$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由橢圓的知識(shí)可知A，B的坐標(biāo)，可得直線的方程，設(shè)PP（acosθ，sinθ），代入點(diǎn)到直線的距離公式，由三角函數(shù)的知識(shí)可得取最值得條件，再代入面積公式可得a，結(jié)合橢圓的定義，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：由橢圓的知識(shí)可知A（0，1），B（a，0），
故直線AB的方程為$\frac{x}{a}+y=1$，即x+ay-a=0，
設(shè)P（acosθ，sinθ），可得P到直線AB的距離d=$\frac{|\sqrt{2}asin（θ+\frac{π}{4}）-a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
∴當(dāng)θ=135°時(shí)，d取最大值為$\frac{（\sqrt{2}+1）a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
此時(shí)△PAB的面積S取最大值為：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{a}^{2}}$×$\frac{（\sqrt{2}+1）a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$+1，
∴a=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0）為焦點(diǎn)，
∴|QN|+|QM|=2a=4，
∴$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$）（|QN|+|QM|）=$\frac{1}{4}$×（5+$\frac{4|QN|}{|QM|}$+$\frac{|QM|}{|QN|}$）≥$\frac{1}{4}$×（5+4）=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|QM|=2|QN|時(shí)，取等號(hào)，
∴$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$的最小值為$\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，確定橢圓的方程是關(guān)鍵．