Question

6．將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=$\frac{PC}{PA}=\frac{CA}{AB}$．
（Ⅰ）求DE與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅱ）直線BE上是否存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面ADE，若存在，確定點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）DE與平面BEC所成角，也即DE與平面BCE的法向量所成角的余角，設(shè)平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z） 則根據(jù)法向量與平面內(nèi)任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐標(biāo)，再求平面BCE的法向量與DE所成角，最后求出該角的余角即可．
（Ⅱ）先假設(shè)直線BE上存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面ADE，向量$\overrightarrow{CM}$垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直時(shí)數(shù)量積為0來(lái)計(jì)算．如能計(jì)算出參數(shù)λ的值，則存在，否則，不存在．

解答 解：（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，$\sqrt{2}$），B（2，0，0），D（0，2，0），做BD的中點(diǎn)F并連接CF，AF；
由題意可得CF⊥BD且AF=CF=$\sqrt{2}$，
又∵平面BDA⊥平面BDC，
∴CF⊥平面BDA，
所以（λ₁，λ₂，λ₃）．的坐標(biāo)為C（1，1，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面BCE的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-\sqrt{2}z=0}\\{x-y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{z=\sqrt{2}x}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），又$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，$\sqrt{2}$），
設(shè)平面DE與平面BCE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DE}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）設(shè)存在一點(diǎn)M，使得CM∥平面ADE，則$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=（2λ，0，-$\sqrt{2}λ$），得M（2λ，0，$\sqrt{2}-\sqrt{2}λ$），
又因?yàn)锳E⊥平面ABD，AB⊥AD，所以：AB⊥平面ADE，
因?yàn)镃M∥平面ADE，則$\overrightarrow{CM}$$⊥\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AB}$=0，解得：2λ-1=0，
所以，解得：$λ=\frac{1}{2}$．
故點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)時(shí)CM∥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 夲題考查了用空間向量求證線線垂直，線面平行，以及線面角，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．