Question

19．（1）若點(diǎn)P（-1，-1）的直線與兩坐標(biāo)軸分別相較于A，B兩點(diǎn)，若P點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該直線的方程和傾斜角；
（2）已知數(shù)列{a_n}為的等差數(shù)列，S_n為前n項(xiàng)和，且S₇=7，S₁₅=75．
①求S_n；
②T_n若為數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)該直線l方程為：y+1=k（x+1），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）①通過設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用S₇=7a₁+21d=7、S₁₅=15a₁+105d=75計(jì)算可知數(shù)列{a_n}是以-2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)論；②通過①可知$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，進(jìn)而利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)該直線l的斜率為k（k≠0），
∵直線l過點(diǎn)P（-1，-1），
∴直線l方程為：y+1=k（x+1），
易知A（0，k-1），B（$\frac{1}{k}$-1，0），
又∵P點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，
∴$\frac{1}{k}$-1=-2，k-1=-2，
解得：k=-1，
∴該直線的方程為：x+y+2=0，
傾斜角為135°；
（2）①設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則S₇=7a₁+21d=7，S₁₅=15a₁+105d=75，
解得：a₁=-2，d=1，
∴數(shù)列{a_n}是以-2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=-2n+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{5}{2}$n；
②∵S_n=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{5}{2}$n，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n-$\frac{5}{2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1+2+…+n）-$\frac{5}{2}$n
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{5}{2}$n
=$\frac{{n}^{2}-9n}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率與方程、考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．