Question

14．化簡求和：T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+4×$\frac{1}{{2}^{4}}$…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通過T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+4×$\frac{1}{{2}^{4}}$…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$與$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+3×$\frac{1}{{2}^{4}}$…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$錯位相減法計算即得結論．

解答 解：∵T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+4×$\frac{1}{{2}^{4}}$…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+3×$\frac{1}{{2}^{4}}$…+（n-1）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
錯位相減可知：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列的求和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于基礎題．