Question

18．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1時有極值0．
（1）求常數(shù) a，b的值；
（2）方程f（x）=c在區(qū)間[-4，0]上有三個不同的實根時，求實數(shù)c的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，由f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時有極值O，則f（-1）=0，f′（-1）=0，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值；
（2）把a，b代入后得到函數(shù)解析式，運用函數(shù)的導函數(shù)大于0和小于0求解函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和函數(shù)f（x）的極值，再求出f（-4）和f（0），結合函數(shù)的單調性作出函數(shù)圖象的大致形狀，數(shù)形結合可求得實數(shù)c的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=x³+3ax²+bx+a²，得：f′（x）=3x²+6ax+b
因為f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時有極值O，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f（-1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$，
當a=1，b=3時，f（x）=x³+3x²+3x+1，
f′（x）=3x²+6x+3=3（x²+2x+1）=3（x+1）²≥0
所以函數(shù)f（x）=x³+3x²+3x+1在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
不滿足在x=-1時有極值O，應舍掉，
所以，常數(shù)a，b的值分別為a=2，b=9；
（2）當a=2，b=9時，f（x）=x³+6x²+9x+4，
f′（x）=3x²+12x+9，
由3x²+12x+9＞0，得：x＜-3或x＞-1，
由3x²+12x+9＜0，得：-3＜x＜-1．
所以，函數(shù)f（x）=x³+6x²+9x+4的增區(qū)間為（-∞，-3），（-1，+∞）．減區(qū)間為（-3，-1）．
又f（-4）=0，f（-3）=4，f（-1）=0，f（0）=4，
所以函數(shù)f（x）=x³+6x²+9x+4的大致圖象如圖，
若方程f（x）=C在區(qū)間[-4，0]上有三個不同的實根，則函數(shù)y=f（x）與y=C的圖象有三個不同的交點，
由圖象可知方程f（x）=C在區(qū)間[-4，0]上有三個不同的實根時實數(shù)c的范圍是（0，4）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，函數(shù)在某區(qū)間上的導函數(shù)大于0，函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)，函數(shù)在某區(qū)間上的導函數(shù)小于0，函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)，考查了數(shù)形結合的解題思想，同時訓練了函數(shù)在極值點處的導數(shù)等于0，此題是中檔題．